Она появилась на свет 24 января 1942 года в блокадном Ленинграде. Малышке чудом удалось выжить в городе, охваченном голодом. Люда на всю жизнь запомнила вкус столярного клея, который был главным блюдом в её детском рационе. В три года девочка впервые попробовала шоколад и оказалась в госпитале с отравлением — её организм был совершенно не приспособлен к усваиванию деликатесов.
Война кончилась, и город постепенно возвращался к нормальной жизни. Люда пошла в школу, а вскоре у неё появилось большое увлечение — балет. В одиннадцать лет она начала заниматься в хореографическом классе и уже спустя несколько месяцев вышла на сцену в постановке «Щелкунчика». Грация, пластика и артистизм — у неё были все данные, чтобы стать знаменитой балериной. Девушка без труда поступила в Ленинградское хореографическое училище имени Вагановой, а сразу после выпуска была принята в труппу Мариинского театра.
Её дебют на большой сцене состоялся в постановке «Жизели», а следом юная балерина получила партию нереиды в «Спящей красавице». На основе спектакля сняли одноимённый фильм-балет и Людмила впервые попала на киноэкран. В это же время режиссёр Сергей Бондарчук искал актрису на роль Наташи Ростовой в экранизации «Войны и мира». Пробы проходили первые красавицы — Анастасия Вертинская, Лариса Кадочникова, Наталья Фатеева, Людмила Гурченко — но никто не попадал в образ. Бондарчук уже было отчаялся, когда ассистентка показала ему фотографии начинающей балерины Людмилы Савельевой.
Поначалу режиссёр отнёсся к девушке скептически, ведь она совершенно не подходила под описание Наташи в книге — героиня была кареглазой брюнеткой, а у Людмилы были светлые волосы и голубые глаза. Но когда на девушку надели парик и платье, образ стал складываться. На пробах Савельева играла сцену в паре с Иннокентием Смоктуновским — знаменитый актёр так растрогался, что даже пустил слезу, а следом заплакала и молодая актриса. После этого режиссёр понял, что поиски Наташи Ростовой можно останавливать.
Съёмки длились долгие пять лет и Людмиле Савельевой ради фильма пришлось пожертвовать карьерой в Мариинском театре. Поначалу она разрывалась между съёмками в Москве и спектаклями в Ленинграде, но организм не выдерживал таких нагрузок. Однажды актриса упала в обморок на киностудии, а потом вновь потеряла сознание уже за кулисами театра. Нужно было делать выбор, и Людмила выбрала кино. «Война и мир» прославила её на весь мир. Картина получила «Оскар», и именно Савельева вышла на сцену за наградой от лица киногруппы, покорив всех своей красотой и искренностью. После премьеры фильма во Франции новорождённых девочек стали массово называть Наташами, а в Японии 1972 год объявили «Годом Людмилы Савельевой».
После громкого успеха на молодую актрису посыпалось множество предложений, но она подходила к выбору ролей очень тщательно — не могла себе позволить снизить планку. Савельеву пригласили на главную роль в совместный итало-франко-советский фильм режиссёра Витторио де Сика «Подсолнухи», где её партнёрами стали мировые звёзды Софи Лорен и Марчелло Мастроянни. Следом Людмила появилась в «Беге», «Чайке», «Всаднике без головы», «Юлии Вревской». Крепкий творческий союз сложился у актрисы с режиссёром Сергеем Соловьёвым — она снялась в его фильмах «Чужая белая и рябой», «Чёрная роза — эмблема печали, красная роза — эмблема любви», «Нежный возраст», «Анна Каренина». Последняя картина вышла на экраны в 2009 году — с тех пор Людмила Савельева больше не появлялась на киноэкране.
С будущим мужем Александром Збруевым актриса случайно познакомилась в ресторане. У него за плечами уже был тяжёлый развод с Валентиной Малявиной, и в юной балерине актёр увидел надежду на счастливую семейную жизнь. Они поженились, а вскоре на свет появилась дочь Наталья. Девочка унаследовала от родителей актёрский талант — в 15 лет сыграла школьницу в фильме «Если верить Лопотухину…». Однако несчастная любовь подкосила талантливую наследницу — её возлюбленный погиб от бандитской пули, и с тех пор она впала в депрессию и начала запивать горе алкоголем. В 2005 году Наталья подожгла собственную квартиру, так что родители забрали дочь к себе. В некоторых интервью Наталья Збруева делилась, что лечится от серьёзного нервного расстройства.
Людмила Савельева с головой погрузилась в заботу о дочери, когда её настиг новый удар. Оказалось, что у Александра Збруева был роман на стороне с коллегой по театру Еленой Шаниной, который закончился появлением на свет внебрачной дочери Татьяны. Из семьи Збруев так и не ушёл, но принимал активное участие в воспитании второй дочери, которая впоследствии стала актрисой. Как бы там ни было, Людмила Савельева смогла простить измену мужа и сохранить семью — со Збруевым они вместе уже больше полувека. Сегодня актриса не снимается в кино и не любит пересматривать фильмы с собственным участием — ей больно смотреть на друзей, которых уже нет в живых. Савельева ведёт довольно закрытый образ жизни и большую часть времени проводит дома за чтением книг.
Стал заложником роли. Куда пропал Купитман из «Интернов»