Бориса Быстрова многие зрители помнят по главной роли в советском фильме «Волшебная лампа Аладдина». После выхода картины у 21-летнего актера не было отбоя от поклонниц, но с популярностью артист справиться не смог.
Актерскую карьеру Быстрова загубил алкоголь. Частые пьянки сильно сказались на внешности артиста. Он растерял былую красоту и набрал лишний вес. Режиссеры снимать изменившегося актера уже не хотели.
Позже Борис взял себя в руки, но работать продолжил уже за кадром в качестве актера озвучки. Его единственный сын Николай пошел по стопам отца и тоже занимается озвучиванием фильмов.